Бином Ньютона.

Содержание:

Древние знания

Частные случаи утверждений о биномах были известны примерно с IV века до нашей эры, когда знаменитый греческий математик Евклид упомянул особый случай такой теоремы для показателя 2. Существует доказательство того, что подобие теоремы о биномах для кубов было известно уже в VI веке в Индии. Биномиальные коэффициенты, как комбинаторные величины, выражающие число способов выбора k объектов из n без замены, представляли интерес для древнеиндийских математиков.

Самое раннее упоминание этой комбинаторной проблемы встречается у индийского математика Пингала (ок. 200 г. до н. э.). В нём, кстати, содержится и метод её решения. В X веке нашей эры эту теорию прокомментировал и расширил Халаюдх, используя метод, который сейчас известен как треугольник Паскаля.

К VI веку н. э. индийские математики, вероятно, знали способ выразить общее правило, как частное, и выражали это примерно в таком виде: n! / (n — k)!k!. Чёткое его изложение можно найти в тексте XII века, автор которого — Бхаскар. Насколько известно, первая формулировка биноминальной теоремы и соответствующая таблица коэффициентов найдена в работе Аль-Караджи, которая цитируется Аль-Самавалем в его трудах.

Аль-Караджи описал треугольную структуру биномиальных коэффициентов, а также представил доказательство как теоремы о биноме, так и правила треугольника Паскаля, используя раннюю форму математической индукции. Персидский поэт и математик Омар Хайям, вероятно, был знаком с формулой более высокого порядка, хотя многие из его математических работ не дошли до современных учёных.

Биноминальные разложения малых степеней были известны в математических работах XIII века Ян Хуэя и Чу Ши-Цзе. Ян Хуэй ссылается на более ранний текст Цзя Сяня, написанный в XI в., однако и эти записи в настоящее время также утрачены.

В 1544 году Майкл Стифель ввёл термин «биномиальный коэффициент» и показал, как его использовать для выражения (1 + a)n с точки зрения (1 + a)n — 1 через «треугольник Паскаля». Блез Паскаль всесторонне изучил треугольник в трактате «Traité du triangle arithmétique» (1653).

Надо сказать, что структура чисел уже была известна европейским математикам позднего ренессанса, включая:

  • Стифеля.
  • Никколо Фонтана Тарталья.
  • Симона Стевина.

К слову, Исааку Ньютону обычно приписывают обобщённую теорему о биномах, справедливую для любого рационального показателя.

Утверждение теоремы

Согласно теореме, можно разложить любую степень x + y в сумму вида (x + y)n = (nₒ) x n y + (n1) x n — 1 y 1 + (n2) x n — 2 y 2 + ··· + (n n — 1) x1y n — 1 + (n n) x1y n — 1+ (n n) xy n , где каждый (nk) является положительным целым числом, известным как коэффициент бинома.

Когда показатель степени равен нулю, соответствующее выражение степени принимается равным 1 и этот мультипликативный фактор часто исключается из формулы. Нередко можно видеть правую сторону уравнения, записанную в виде (nₒ) x n + ···. Эта формула также называется биноминальным тождеством.

Наиболее простой пример формулы бинома Ньютона — решение для квадрата из х + у, например, (x + y)2 = x2 + 2xy + y2. Биномиальные коэффициенты 1, 2, 1, фигурирующие в этом расширении, соответствуют второму ряду треугольника Паскаля. Следует обратить внимание на общепринятые нормы, где верхняя «1» треугольника считается строкой 0.

Коэффициенты более высоких степеней x + y соответствуют нижним строкам паскалевского треугольника. Из расчётов можно наблюдать несколько закономерностей. В общем случае для разложения (x + y) n:

  • y начинаются с 0 и увеличиваются на 1 (пока не достигнут n степени);
  • число слагаемых в разложении перед объединением одинаковых слагаемых является суммой коэффициентов и равно 2n;
  • после объединения одинаковых слагаемых в разложении получится n + 1.

Теорема может быть применена к степеням любого бинома.

Для положительных значений a и b теорема с n = 2 является геометрически очевидным фактом. Это значит, что квадрат стороны a + b может быть разделён: на квадрат стороны a и b, на два прямоугольника со сторонами a и b. При n = 3 теорема утверждает, что из куба со стороной a + b можно получить: два куба со сторонами a и b, соответственно, три прямоугольника a × a × b и столько же a × b × b.

В исчислении геометрическое доказательство бинома Ньютона выглядит следующим образом: (x n)′ = nx n-1. Если установить a = x, b = ∆x, интерпретируя b как бесконечно малое изменение в a, то вырисовывается следующая картина: бесконечно малое изменение объёма n-мерного гиперкуба (x + ∆x) n, где коэффициент линейного члена (в ∆x ) является nx n-1, площадь n граней, каждое из измерений (n — 1), (x + ∆x) n = x n + nx n-1 ∆x + (n2)x n-2 (∆x) 2 + ··· .

Подстановка этого уравнения в определение производной через разность и принятие пределов означает, что члены более высокого порядка, (∆x) 2 и выше, становятся незначительными, и даёт формулу (x n)′ = nx n-1. Всё это интерпретируется как «бесконечно малая скорость изменения объёма nкуба, при изменении длины его стороны, равна площади n (n — 1)».

Биномиальные коэффициенты появляются в разложении бинома Ньютона. Обычно их записывают как (n k) и интерпретируют, как количество способов выбора k элементов из n строки треугольника Паскаля. Коэффициент x n — k y k находят по формуле: (n k) = n! / k! (n-k)!, которая определяется в терминах факториальной функции n!.

Доказательств теоремы несколько. Для примера можно рассмотреть комбинаторное. Его алгоритм — один из самых простых. Коэффициент xy 2 в (x + y) 3 равен:

  • (x + y) (x + y) (x + y);
  • xxx + xxy + xyx + xyy + yxx + yxy + yyx + yyy;
  • x2 + 3x2 y + 3xy2 + y3 равняется (3 2) = 3.

Вычисления выглядят так, потому что есть три x и y строки, а именно: xyy, yxy, yyx. Они соответствуют трём двухэлементным подмножествам {1, 2, 3}, а конкретно: {2,3}, {1,3}, {1,2}, где каждое подмножество определяет позиции y в соответствующей строке треугольника.

Или, например, общий случай. Расширение (x + y) n дает сумму 2 n произведений вида e1 e2 … en, где каждый ei равен x или y. Коэффициенты перестановки показывают, что каждый продукт равен x n k y k для некоторого k между 0 и n. Для заданного k следующие значения равны по порядку:

  • количество копий x n — k y k в расширении;
  • количество nсимволов x, y строк, имеющих y ровно в k позициях;
  • количество k-элементных подмножеств {1, 2, …, n}.

Доказывают биномиальную теорему либо по определению, либо по короткому комбинаторному аргументу, если (n k) представлено как n! / k! (n-k)!.

Биномные обобщения

Около 1665 года Исаак Ньютон обобщил свою теорему, касающуюся бинома. Сделал он это для того, чтобы разрешить вещественные показатели, отличные от неотрицательных целых чисел. В этом обобщении конечная сумма заменяется бесконечным рядом. Чтобы сделать это, нужно придать смысл коэффициентам бинома с произвольным верхним индексом, что невозможно сделать с помощью обычной формулы с факториалами.

Однако для произвольного числа r можно вычислить (r k) = r(r — 1) ··· (r — k + 1) / k! = (r)k / k!, где (·) k является символом Похгаммера, который здесь означает падающий факториал. Это согласуется с обычными определениями. Когда r — неотрицательное целое число, биномиальные коэффициенты при k > r равны нулю, поэтому это уравнение сводится к обычной биномиальной теореме, где существует не более r + 1 ненулевых членов. Для других значений r ряд обычно имеет бесконечно много ненулевых членов.

Обобщения можно распространить на случай, когда x и y — комплексные числа. Для этой версии следует снова принять | х | > | у | и определить степени x + y и x, используя голоморфную ветвь логарифма, определённую на открытом диске радиуса | х | с центром в х. Обобщённая теорема бинома справедлива и для элементов х и у в банаховой алгебре, пока х = ух, х является обратимым, а || у / х ||

Биномиальную теорему можно обобщить, включив в нее степени сумм с более чем двумя членами. Мультибиномиальная теорема часто бывает полезной при работе в нескольких измерениях, чтобы иметь возможность оперировать продуктами биномиальных выражений.

Проверка в действии

Начать лучше с решения простой задачи, которую учитель покажет классу на уроке алгебры. Например, нужно расширить (2x-3) ³. Это было бы не слишком трудно сделать, воспользовавшись онлайн-калькулятором. Но нужно использовать бином, когда придётся столкнуться с более крупными расширениями, такими как двучлены, возведённые в 4, 5, 6, … степени.

Для начала нужно определить два члена из бинома (положения x и y формулы) и степени (буква n), до которой нужно расширить бином. Например, чтобы расширить (2x-3) ³, два члена составляют 2x и -3, а значение мощности (или n) равно 3. Следует отметить, что всякий раз, когда в биноме есть знак вычитания, очень важно помнить, что минус следует использовать только в качестве отрицательного символа в сопутствующем термине.

Замечательная вещь в теореме о биноме — это то, что она позволяет найти расширенный многочлен без умножения множества биномов вместе. Довольно интересное свойство. Оказывается, что число слагаемых в искомом расширенном полиноме всегда будет на единицу больше, чем сила, которую расширяют. Это означает, что необходимо создавать многочлен с четырьмя членами, так как мощность в этом примере равна 3.

Каждый член будет иметь (2x) и (-3), а также формулу «n выбирает k», где n = 3. Нужно записать это 4 раза, по одному на каждый член, оставив значение k в «n выбирает k». На этом этапе подсчёта значения степеней не заполняются.

Далее нужно заполнить k-значения и полномочия. Здесь можно следовать формуле суммирования, увеличивая мощность для каждого члена. Но довольно просто следовать шаблонам. Значения k в «n выбирает k» начинаются с k = 0 и увеличиваются на 1 в каждом члене. Последний член должен заканчиваться на n, равный k, в этом случае n = 3 и k = 3. Затем нужно добавить полномочия на (2x) и (-3).

Включение (2x) начнётся с n-значения, в этом случае — 3, и будет уменьшаться на 1 для каждого слагаемого, пока не доберётся до нуля. Включение (-3) будет начинаться с нуля и увеличиваться на единицу каждый раз, пока не доберётся до n или 3 в этой задаче. Итак, половина дела сделана: (³ₒ)(2x)³‾⁰˭³ (-3)⁰ + (³1)(2x) 3-1=2 (-3)1 + (³2)(2x) 3-2=1 (-3)2 + (³3)(2x) 3-3=0 (-3)3.

Поскольку любое значение, возведённое в ноль, равно 1, можно упростить слагаемые с нулевыми степенями. Далее, двигаясь вперёд и применяя силы, целесообразно упростить все возможные сочетания.

Короткий путь

Последняя часть должна решить формулу комбинации. Очевидный способ сделать это — применить формулу комбинации для каждой задачи. Но стоит пойти на хитрость и ускорить вычисления, используя треугольник Паскаля, образованный путём создания треугольника с тремя начальными единицами. После этого для каждой строки нужно просто написать 1 на обоих концах и найти средние числа, добавляя два значения непосредственно над ним.

Теперь хорошая часть. В Треугольнике Паскаля спрятаны все ответы — это настоящая шпаргалка. Диаграмма ниже показывает, где находятся скрытые «n выбирает k».

Для рассматриваемой задачи нужно решить: 3 выбирает 0, 3 выбирает 1, 3 выбирает 2 и 3 выбирает 3. Все эти значения содержатся в четвёртой строке. Итак, всё, что нужно сделать, это посмотреть на четвёртый ряд треугольника и сделать выводы, сопоставив ответы. Четвёртая строка имеет значения: 1, 3, 3, 1. Поэтому надо просто заменить n на выбор k. Получается следующее: (1)8x3 + (3)4x2(-3) + (3)(2x)(9) + (1)(-27).

Наконец, всё, что нужно сделать — умножить и упростить каждый термин до его простейшей формы. Стоит проверить окончательный ответ, чтобы убедиться, что полномочия каждого термина всё ещё увеличивают степень первоначального бинома.

Еще тесты

Читайте также

Сборник ГДЗ по математике для 5 класса Н. Я. ВиленкинаФормулы площадей всех фигурСтепени чисел — правила возведения, примеры и таблица основных степенейЧисло в нулевой степени

ТолкованиеПереводБином ньютона</dt>b>Бином Ньютона — это формула

,

где  — биномиальные коэффициенты, n — неотрицательное целое число.

Доказательство

Докажем это равенство, используя метод математической индукции:

База индукции:n = 1

(a + b)1 = a + b

Шаг индукции:

Пусть утверждение для n верно:

Тогда надо доказать утверждение для n + 1:

Начнём доказательство:

Извлечём из первой суммы слагаемое при k = 0

Извлечём из второй суммы слагаемое при k = n

Теперь сложим преобразованные суммы:

Что и требовалось доказать

Комментарий:

 — одно из тождеств биномиальных коэффициентов

Для ненатуральных степеней

где r может быть комплексным числом (в частности, отрицательным или вещественным). Коэффициенты находятся по формуле:

При этом ряд

.

сходится при .

В частности, при и получается тождество

Переходя к пределу при и используя второй замечательный предел, выводим тождество

именно таким образом впервые полученное Эйлером.

История

Считается, что эту формулу, как и треугольник, позволяющий находить коэффициенты, изобрёл Блез Паскаль, описавший её в XVII веке. Тем не менее, она была известна ещё китайскому математику Яну Хуэю, жившему в XIII веке. Возможно, её открыл персидский учёный, поэт и философ Омар Хайям.

Исаак Ньютон обобщил формулу для прочих показателей степени.

В художественной литературе

В художественной литературе «бином Ньютона» появляется в нескольких запоминающихся контекстах, где речь идёт о чём-либо сложном.

  • В рассказе А. Конан Дойля «Последнее дело Холмса» Холмс говорит о математике профессоре Мориарти:
«Когда ему исполнился двадцать один год, он написал трактат о биноме Ньютона, завоевавший ему европейскую известность. После этого он получил кафедру математики в одном из наших провинциальных университетов, и, по всей вероятности, его ожидала блестящая будущность».
  • Знаменита цитата из «Мастера и Маргариты» М. А. Булгакова: «Подумаешь, бином Ньютона!».

Об этой специфической роли бинома Ньютона в культуре писал известный математик В. А. Успенский[1].

См. также

Другие книги по запросу «Бином ньютона» >></dd>Выражения, преобразование выражений

Навигация по странице.

Бином Ньютона — формула.

Формула бинома Ньютона для натуральных n имеет вид , где — биномиальные коэффициенты, представляющие из себя сочетания из n по k, k=0,1,2,…,n, а «!» – это знак факториала).

К примеру, известная формула сокращенного умножения «квадрат суммы» вида есть частный случай бинома Ньютона при n=2.

Выражение, которое находится в правой части формулы бинома Ньютона, называют разложением выражения (a+b)n, а выражение называют (k+1)-ым членом разложения, k=0,1,2,…,n.

К началу страницы

Коэффициенты бинома Ньютона, свойства биномиальных коэффициентов, треугольник Паскаля.

Треугольник Паскаля.

Биномиальные коэффициенты для различных n удобно представлять в виде таблицы, которая называется арифметический треугольник Паскаля. В общем виде треугольник Паскаля имеет следующий вид:

Треугольник Паскаля чаще встречается в виде значений коэффициентов бинома Ньютона для натуральных n:

Боковые стороны треугольника Паскаля состоят из единиц. Внутри треугольника Паскаля стоят числа, получающиеся сложением двух соответствующих чисел над ним. Например, значение десять (выделено красным) получено как сумма четверки и шестерки (выделены голубым). Это правило справедливо для всех внутренних чисел, составляющих треугольник Паскаля, и объясняется свойствами коэффициентов бинома Ньютона.

Свойства биномиальных коэффициентов.

Для коэффициентов бинома Ньютона справедливы следующие свойства:

  • коэффициенты, равноудаленные от начала и конца разложения, равны между собой , p=0,1,2,…,n;
  • ;
  • сумма биномиальных коэффициентов равна числу 2, возведенному в степень, равную показателю степени бинома Ньютона: ;
  • сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на четных местах, равна сумме биномиальных коэффициентов, стоящих на нечетных местах.

Первые два свойства являются свойствами числа сочетаний.

К началу страницы

Доказательство формулы бинома Ньютона.

Приведем доказательство формулы бинома Ньютона, то есть докажем справедливость равенства .

Воспользуемся для доказательства методом математической индукции.

  1. Проверим справедливость разложения для какого-нибудь n, допустим, для n = 3.

    Получили верное равенство.

  2. Предположим, что равенство верно для n-1, то есть, что справедливо равенство .

  3. Докажем, что верно равенство , основываясь на предположении второго пункта.

    Поехали!

    Раскрываем скобки

    Группируем слагаемые

    Так как и , то ; так как и , то ; более того, используя свойство сочетаний , получим

    Подставив эти результаты в полученное выше равенство придем к формуле бинома Ньютона .

Этим доказана формула бинома Ньютона.

К началу страницы

Бином Ньютона — применение при решении примеров и задач.

Рассмотрим подробные решения примеров, в которых применяется формула бинома Ньютона.

Пример.

Напишите разложение выражения (a+b)5 по формуле бинома Ньютона.

Решение.

Смотрим на строку треугольника Паскаля, соответствующую пятой степени. Биномиальными коэффициентами будут числа 1, 5, 10, 10, 5, 1. Таким образом, имеем .

Пример.

Найдите коэффициент бинома Ньютона для шестого члена разложения выражения .

Решение.

В нашем примере n=10, k=6-1=5. Таким образом, мы можем вычислить требуемый биномиальный коэффициент:

В заключении рассмотрим пример, в котором использование бинома Ньютона позволяет доказать делимость выражения на заданное число.

Пример.

Доказать, что значение выражения , где n – натуральное число, делится на 16 без остатка.

Решение.

Представим первое слагаемое выражение как и воспользуемся формулой бинома Ньютона:

Полученное произведение доказывает делимость исходного выражения на 16.

К началу страницы

Бином представляет собой выражение, которое состоит из двух одночленов. Биномиальные уравнения — равенства, которые содержат два члена в любой степени.

Определение термина

Моном — выражение вида axn, при этом переменных может быть больше одной. Например, к мономам относятся выражения 5x3, 4xy2 или 12xyz3. Бином — это выражение, которое состоит из двух мономов. Следовательно, это может быть, как 5x3 + 4xy2, так и 2x + 1. Последний представляет собой линейный бином, который в общем виде записывается как ax + b.

Бином Ньютона

Бином Ньютона — это формула разложения на слагаемые произведения вида (a+b)n, в результате чего всегда образуется полином. Если показатель степени n меньше 3 включительно, то выражение раскладывается по формулам сокращенного умножения, таким как квадрат и куб суммы/разности. Для степеней выше 3 формула разложения значительно усложняется, как и количество мономов, входящих в результирующий многочлен. Для упрощения поиска коэффициентов используется треугольник Паскаля, в котором номер строки совпадает со степенью произведения.

Биномиальные уравнения

Биномиальное уравнение — это равенство, которое содержит в себе два члена. Наиболее простыми биномиальными равенствами считаются линейные, которые в общем виде записываются как aZ+b. Более сложные биномиальные равенства могут содержать несколько переменных с разными степенями. В этой статье мы рассмотрим алгоритм умножения двух линейных биномиальных уравнений.

Алгоритм умножения

Произведение двух биномиальных равенств в общем виде записывается как:

(aZ+b) × (cZ + d),

где Z — неизвестное, a, b, c, d — числа.

Умножение многочлена на многочлен производится по стандартному правилу: каждый член первого полинома умножается на каждый член второго полинома, после чего мономы складываются и приводятся подобные. На практике это выглядит следующим образом:

  • умножим первый член бинома (aZ+b) на каждый член бинома (cZ + d) и получим aZ × cZ + aZ × d =acZ2 + adZ;
  • умножим второй член первого бинома на каждый член второго и получим b × cZ + b × d = bcZ + bd;
  • суммируем все составляющие и запишем результат acZ2 + adZ + bcZ + bd.

Числовые значения в конкретных примерах всегда вычисляются, поэтому мы легко можем привести подобные и принять, что сумма adZ + bcZ = BZ. Остальные числовые произведения также вычисляются и заменяются большими буквами acZ2 = AZ2 и bd = C. Таким образом, в результате мы получаем полином вида:

AZ2 + BZ + C.

Если же бином возводится в квадрат, то легко применить сокращенную формулу умножения квадрат/разность суммы и получить тот же самый результат.

Калькулятор умножения двух биномиальных уравнений

Наша программа представляет собой онлайн-калькулятор для умножения двух линейных биномиальных уравнений. Для поиска решения требуется ввести коэффициенты уравнений, после чего программа вычислит результирующий квадратный полином. Рассмотрим пример работы инструмента.

Проверка корней

Калькулятор легко использовать для проверки корней квадратных уравнений. Если при решении уравнения вида AZ2 + BZ + C были получены целочисленные корни X1 и X2, то в результате умножения биномов вида (Z − X1) × (Z − X2) мы вновь получим выражение AZ2 + BZ + C. Например, есть уравнение:

x2 − 8x + 15 = 0

При решении через дискриминант мы получаем два корня X1 = 3 и X2 = 5. Для проверки решения введите в ячейку при X единицы, а в ячейки свободных членов — минус 3 и минус 5. В результате мы получим (1x2 − 5x − 3x + 15) = 1x2 − 8x + 15. Обратите внимание, что в произведении биномов корни требуется вычитать, поэтому если корни уравнений будут отрицательными, их знак изменится на плюс.

Заключение

Умножение биномиальных уравнений используется при упрощении выражений в самых разных расчетах, а также для проверки корней квадратных уравнений. Наш сервис позволяет мгновенно умножить два линейных биноминальных уравнения и получить в результате квадратичное равенство. Используйте программы из нашего каталога для решения любых математических задач.

razlozhenie-binoma-nyutona.jpgТеги:КомбинаторикаФормула бинома Ньютона позволяет разложить двучлен вида (a+b)n в многочлен от a и b. Общая формула выглядит так: (a + b)n = an + Сn1 · an — 1 · b + Сn2 · an — 2 · b2 + … + Сnk · an — k · bk + … + Сnn — 1 · a · bn-1 + bn, где С – биномиальные коэффициенты, которые определяются через треугольник Паскаля. Важное свойство треугольника Паскаля: каждое число равно сумме двух чисел, стоящих над ним.

Формула Бинома Ньютона

Для натурального n формула принимает такой вид:

(a + b)n = Cn · an + C1n · an-1 · b + C2n · an-2 · b2 + … + Cn-1n · a · bn-1 + Cnn · bn,

где Ckn – биномиальные коэффициенты.

Примеры:

  • (x + y)2 = x2 + 2 · x · y + y2,
  • (x + y)3 = x3 + 3 · x2 · y + 3 · x · y2 + y3,
  • (x + y)4 = x4 + 4 · x3 · y + 6 · x2 · y2 + 4 · x · y3 + y4,
  • (x + y)5 = x5 + 5 · x4 · y + 10 · x3 · y2 + 10 · x2 · y3 + 5 · x · y4 + y5,

Треугольник Паскаля

Треугольник Паскаля — бесконечная таблица биномиальных коэффициентов, которые для удобства восприятия записаны в форме треугольника. На его вершинах и по боковым сторонам стоят единицы, а каждое число равно сумме двух чисел над ним.

Скопировать «Разложение Бинома Ньютона»:

Код для вставки:

Скопируйте и вставьте этот код на свою страничку в то место, где хотите, чтобы отобразился сервис транслитерации.

Добавить в закладки:

Комментарии к калькулятору

Количество комментариев: 3Похожие калькуляторыМатематикаchislo-perestanovok.jpgЧисло перестановок

Калькулятор числа перестановок позволяет вычислить число возможных сочетаний из заданного количества элементов.

Перейти к расчетуМатематикаchislo-sochetanij.jpgЧисло сочетаний

Калькулятор числа сочетаний позволяет вычислить число возможных сочетаний из заданного количества объектов n по k.

Перейти к расчетуМатематикаchislo-razmeshchenij.jpgЧисло размещений

Калькулятор числа размещений вычисляет число возможных размещений из заданного количества объектов n по k.

Перейти к расчетуИспользуемые источники:

  • https://nauka.club/matematika/binom-nyutona.html
  • https://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/810956
  • http://www.cleverstudents.ru/expressions/binomial_theorem.html
  • https://bbf.ru/calculators/183/
  • https://poformule.ru/matematika/razlozhenie-binoma-nyutona

Оцените статью
Рейтинг автора
5
Материал подготовил
Илья Коршунов
Наш эксперт
Написано статей
134
Добавить комментарий